수학에서, 그로모프-위튼 불변량(Громов-Witten不變量, 영어: Gromov–Witten invariant)은 주어진 심플렉틱 다양체 위의 정칙 곡선의 수를 헤아리는 불변량이다. 위상 끈 이론의 A모형의 관측 가능량이다.
이
차원 콤팩트 심플렉틱 다양체이며,
이 주어졌다고 하자.
이
개의 점들이 주어진 종수
의 리만 곡면의 모듈러스 스택이라고 하자.
위에 심플렉틱 구조
와 호환되는 임의의 개복소구조
를 주고,
가 안정 사상(영어: stable map)
가운데,
인 것들의 모듈라이 공간이라고 하자.
의 차원은 다음과 같다.
![{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )=2c_{1}^{M}(\alpha )+(2d-6)(1-g)+2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f0385af77c381cc9066985841c7a85c4238512)
의 점들은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle (\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b4b49616c056cbf37c497f383a5da691a58667)
여기서
는 종수
의 리만 곡면이며,
은 리만 곡면 위의 점들이며,
은
에 대하여 정칙 사상이다.
다음과 같은 값매김 사상(영어: evaluation map)이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {ev} \colon {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )\to {\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c8db9de474dc986d6802d171b5fc845873086e)
![{\displaystyle \operatorname {ev} \colon (\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)\mapsto (\Sigma ,f(z_{1}),\dots ,f(z_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab5a928f429cb12dfd81a6b56d67436ef1bf888)
그렇다면
의 그로모프-위튼 호몰로지류
은
의 기본류의 값매김 사상에 대한 상이다.
![{\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }=\operatorname {ev} ([M])\in \operatorname {H} _{\dim {\mathcal {M}}_{g,n}(X,\alpha )}({\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n};\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae03e1dc36de15c3bb9451d8d0411d01d58c7b7)
임의의 호몰로지류
![{\displaystyle \beta \in {\mathcal {M}}_{g,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbb9b6f178db3b350b96a9aaea86b3dc2f9dc71)
![{\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}\in \operatorname {H} (M;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019a014f82074167d38a6240f5cd271395e6c027)
에 대하여, 그로모프-위튼 불변량은 다음과 같은 유리수이다.
![{\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})=\operatorname {PD} (\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha })(\beta \times \gamma _{1}\times \cdots \times \gamma _{n})\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55e8e6beef95739978f58f3dcff09fa89277601)
여기서
는 푸앵카레 쌍대를 뜻한다.
그로모프-위튼 불변량
은 정칙 사상
가운데
![{\displaystyle f([\Sigma _{g}])\simeq \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bfc4e0d11241540cbf639fd7f3609fbffdc4c9)
![{\displaystyle \Sigma _{g}\in \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474f33da7a5d4e766f900996ef8d9bde5c59d717)
![{\displaystyle f(z_{i})\in \gamma _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a36170ab0a7932031217987c1a0dbd63dd78026)
인 것들의 수를 센다. 이는 가상적(영어: virtual) 수이며, 따라서 음수이거나 유리수일 수 있다.